De uit Oekraïne afkomstige Roman Yaremchuk genoot zijn opleiding bij Dynamo Kiev. Van juli tot december 2016 werd hij door Dynamo Kiev uitgeleend aan FV Oleksandria, waarna hij terugkeerde naar Dynamo Kiev.
Op 16 augustus 2017 ondertekende hij een contract voor vier seizoenen bij KAA Gent. Hij debuteerde er op 27 augustus 2017 met een invalbeurt in de wedstrijd Gent-Anderlecht.
Bij KAA Gent was hij in 152 wedstrijden maar liefst 79 keer beslissend. De Oekraïense international maakte daarna een toptransfer naar het Portugese Benfica. Daar vond Yaremchuk 9 keer de netten, waaronder drie keer in de Champions League groepsfase.
Hij tekende in de zomer van 2022 een contract voor vier jaar bij Blauw-Zwart.